Integración

Introducción

Se busca encontrar algoritmos de la forma:

(1)
\begin{align} \int_a^b f(x) dx = Q + E \end{align}

Donde

(2)
\begin{align} Q = \sum_{k=1}^n a_k f(x_k) \end{align}

$Q$ es llamada expresión de cuadratura y $E$ es el error en la aproximación. Los coeficientes $a_k$ son los pesos de las abscisas $x_k$.

Cabe destacar que $f(x)$ viene en forma de datos tabulados, equiespaciados una distancia $h$. Estos métodos son útiles especialmente para cuando no existe una primitiva para la integral.

Hay varias expresiones de cuadratura (o Newton-Cotes), descriptas en las siguientes secciones.

Rectángulos

Fórmula cerrada:

(3)
\begin{equation} Q = (b-a) f(a) \end{equation}

Fórmula abierta:

(4)
\begin{align} Q = (b-a) f \left ( \frac{a+b}{2} \right ) \end{align}

Trapecios

Fórmula cerrada:

(5)
\begin{align} \int_a^b f(x) dx = \frac{h}{2}(f_0+f_1) - \frac{h^3}{12} f''(\xi) \end{align}

donde $\xi \in (x_0,x_1)$.

Fórmula abierta:

(6)
\begin{align} \int_a^b f(x) dx = \frac{3h}{2}(f(x_0)+f(x_1))+\frac{3h^3}{4}f''(\xi) \end{align}

Trapecios compuesto

(7)
\begin{align} \int_a^b f(x)dx = \frac{h}{2} \left ( f(a) + 2\sum_{i=1}^{m-2} f(x_i)+f(b) \right ) - \frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi) \end{align}

Método de Simpson

(8)
\begin{align} \int_a^b f(x)dx = \frac{h}{3} (f_0+4f_1+f_2)-\frac{h^5}{90} f^{IV}(\xi) \end{align}

Simpson compuesto

(9)
\begin{align} \int_a^b f(x)dx = \frac{h}{3}\left (f(a)+f(b)+4\sum_{i=1}^mf(x_{2i-1})+2\sum_{i=1}^{m-1} f(x_{2i}) \right ) - \frac{(b-a)h^4}{180} f^{IV}(\xi) \end{align}

donde $h = \frac{b-a}{2m}$.

Regla mnemotécnica:

(10)
\begin{align} \frac{h}{3}\left(E+4I+2P\right) \end{align}

donde $E$ son los extremos, $I$ las abscisas numeradas en orden impar y $P$ las abscisas numeradas en orden par.

Cuadratura de Gauss

La idea es que es exacta para polinomios de grado menor o igual a $2n-1$.

La expresión es:

(11)
\begin{align} \int_{-1}^1 f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \end{align}

donde tanto $w_i$ como $x_i$ han sido elegidos por Gauss.

Entonces, por ejemplo, si queremos que sea exacto para grado menor o igual a 3, alcanza con tomar 2 términos de la suma.

Si se desea usar un intervalo arbitrario, resulta:

(12)
\begin{align} \int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f \left(\frac{b-a}{2} x_i + \frac{a+b}{2} \right) \end{align}

Los $x_i$ y $w_i$ hasta 3 puntos son:

$n$ $x_i$ $w_i$
1 0 2
2 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 1
3 0 $\frac{8}{9}$
3 $\pm \sqrt{\frac{3}{5}}$ $\frac{5}{9}$

Para el caso particular de que sirva hasta grado 3, necesito 2 puntos, y queda:

(13)
\begin{align} \int_{-1}^1 f(x) dx \approx f(-1/\sqrt{3})+f(1/\sqrt{3}) \end{align}

Links Interesantes

http://www.unalmed.edu.co/~ifasmar/cap5.pdf

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