Fourier

Introducción

El análisis y la síntesis de Fourier nos permite ver el comportamiento de una función en el dominio del tiempo y de la frecuencia. Esto resulta de gran interés en el ámbito de las transmisiones de datos, por ejemplo.

Fourier para funciones periódicas

Serie trigonométrica de Fourier

Sea $f(t)$ una función periódica de período $T$, se puede expresar como la siguiente serie trigonométrica:

(1)
\begin{align} f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos n w_0 t + b_n \sin n w_0 t\right) \end{align}

siendo $w_0 = \frac{2 \pi}{T}$, la frecuencia angular del primer armónico. El término $a_0$ se llama "componente de continua" mientras que cada término de la sumatoria es denominado $n$-ésimo armónico.

Los coeficientes $a_0$, $a_n$ y $b_n$ pueden deducirse utilizando las propiedades ortogonales del seno y el coseno. Para deducir $a_n$ hay que multiplicar la ecuación 1 por $\cos(m w_0 t)$ e integrar en un período. Para deducir $b_n$ hacer lo mismo con la función seno. Notese que $a_0$ es un caso particular de $a_n$ pero se pone la ecuación de todas maneras porque hay veces donde $a_n$ no tiene sentido para $n = 0$.

(2)
\begin{align} a_0 = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt \end{align}
(3)
\begin{align} a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos (n w_0 t) dt \end{align}
(4)
\begin{align} b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin (n w_0 t) dt \end{align}

Propiedades según forma de onda

Estas son alguna propiedades que permiten agilizar el proceso de calcular coeficientes de una serie trigonométrica.

  • Si $f(t)$ es par y periódica con período $T$ la serie de Fourier solo consta de los coeficientes $a_0$ y $a_n$
(5)
\begin{align} f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n w_0 t \end{align}
  • Si $f(t)$ es impar y periódica con período $T$ la serie de Fourier solo consta de los coeficientes $b_n$
(6)
\begin{align} f(t) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin n w_0 t \end{align}
  • Si Si $f(t)$ tiene simetría de media onda, los armonicos pares (n par) se anulan.

Serie compleja de Fourier

Otra forma de escribir la serie de Fourier es mediante su expresión en complejos. Para eso se hace uso de la expresión del seno y coseno como suma de exponenciales.

Se la escribe como

(7)
\begin{align} f(t) = C_0 + \sum_{n = -\infty, n \neq 0}^{\infty} C_n e^{j n w_0 t} \end{align}

y los coeficientes $C_n$ se calculan utilizando:

(8)
\begin{align} C_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt \end{align}
(9)
\begin{align} C_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j n w_0 t} dt, \quad \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \end{align}

Nótese que aunque $C_0$ es un caso especial de $C_n$ hay veces que no tiene sentido calcularlo de esta manera (por ejemplo si queda un $\frac{1}{n}$ al resolver la integral.

La relación entre los coeficientes en su forma exponencial y su forma trignométrica es

(10)
\begin{eqnarray} C_0 &=& \frac{1}{2} a_0 \\ C_n &=& \frac{a_n - j b_n}{2} \\ C_{-n} &=& \frac{a_n + j b_n}{2} \end{eqnarray}

Propiedades según forma de onda

  • Si $f(t)$ es par y periódica con período $T$ los coeficientes $c_n$ son reales.
  • Si $f(t)$ es impar y periódica con período $T$ los coeficientes $c_n$ son imaginarios puros.

Transformada finita de Fourier

Se la define igual a $C_n$, es decir:

(11)
\begin{align} \mathring{\mathcal{F}}\{f(t)\} = F(nw_0) = C_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j n w_0 t} dt \end{align}

Propiedades de la Transformada finita de Fourier

  • Propiedad de linealidad: Si $a_1$ y $a_2$ son dos constantes arbitrarias
(12)
\begin{align} \mathring{\mathcal{F}}\{a_1 f_1(t) + a_2 f_2(t)\} = a_1 \mathring{\mathcal{F}}\{f_1(t)\} + a_2 \mathring{\mathcal{F}}\{f_2(t)\} \end{align}
  • Propiedad de la derivada:
(13)
\begin{align} \mathring{\mathcal{F}}\{f'(t)\} = jnw_0 \mathring{\mathcal{F}}\{f(t)\} \end{align}
  • Propiedad de la integral:
(14)
\begin{align} \mathring{\mathcal{F}}\{\int_{-\frac{T}{2}}^t f(\tau) d\tau\} = \frac{1}{jnw_0} \mathring{\mathcal{F}}\{f(t)\} \end{align}
  • Desplazamiento en el tiempo: Si $a$ es una constante
(15)
\begin{align} \mathring{\mathcal{F}}\{f(t-a)\} = \mathring{\mathcal{F}}\{f(t)\} e^{-jnw_oa} \end{align}

Fourier para funciones no periódicas

Hasta aca las funciones analizadas eran periódicas, pero en la práctica esto no suele ser así, entonces se expande el análisis de Fourier a funciones no periódicas.

Para verlo con detalle mirar el libro de Hsu1.

La idea es que si en una función periódica hacemos que $T$ tienda a infinito, la función deja de ser periódica. Más aún, $w_0$ se vuelve tan chico que lo podemos tomar como un diferencial y la relación $n \vartriangle w$ se vuelve un continuo al cual simplemente llamamos $w$. Uniendo la serie compleja de Fourier (7) con el cálculo de sus coeficientes (9) se puede escribir:

(16)
\begin{align} f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j w x} \: dx \right] e^{jw t} \:dw \end{align}

Transformada de Fourier

De la ecuación (16) podemos despejar la llamada Transformada de Fourier, denotada por el símbolo $\mathcal{F}$:

(17)
\begin{align} \mathcal{F}[f(t)] = F(w) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-jwt} dt \end{align}

y tambien la Antitransformada de Fourier dentoada por $\mathcal{F}^{-1}$

(18)
\begin{align} \mathcal{F}^{-1}[F(w)] = f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{jwt} dw \end{align}

ADVERTENCIA: Según el autor, el factor $\frac{1}{2 \pi}$ puede estar en la definición de transformada o de antitransformada. Según la definición del libro de Hsu el factor va en la antitransformada. A lo largo de esta wiki se usará para la transformada.

Una condición suficiente pero no necesaria para que exista $F(w)$ es que la integral del valor absoluto de $f(t)$ sea finita:

(19)
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| \: dt < \infty \end{align}

Algunas funciones que no cumplen este criterio pero sí tienen transformada son: la Delta de Dirac, el seno y el coseno.

Propiedades

Lo que sigue son algunas propiedades que tiene la operación transformada de Fourier. Suele servir para calcular las mismas fácilmente.

  • Si $f(t)$ es real las partes real e imaginarias de $F(w)$ son:
(20)
\begin{eqnarray} R(w) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos w t \: dt \\ X(w) &=& - \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin w t \: dt \end{eqnarray}
  • Si $f(t)$ es real el espectro de magnitud $|F(w)|$ es una función par y el espectro en fase $\phi(w)$es una función impar.
  • Propiedad de linealidad: Si $F_1(w) = \mathcal{F} [f_1(t)]$ y $F_2(w) = \mathcal{F} [f_2(t)]$, y $a_1$ y $a_2$ son dos constantes arbitrarias
(21)
\begin{align} \mathcal{F} [a_1 f_1(t) + a_2 f_2(t)] = a_1 F_1(w) + a_2 F_2(w) \end{align}
  • Propiedad de escalonamiento: Si $a$ es una constante real y $F(w) = \mathcal{F} [f(t)]$
(22)
\begin{align} \mathcal{F} [f(at)] = \frac{1}{a} F\left(\frac{w}{a}\right) \end{align}
  • Desplazamiento en el tiempo: Si $F(w) = \mathcal{F} [f(t)]$
(23)
\begin{align} \mathcal{F} [f(t - t_0)] = F(w) e^{-jw t_0} \end{align}
  • Desplazamiento en la frecuencia: Si $F(w) = \mathcal{F} [f(t)]$ y $w_0$ es una constante real
(24)
\begin{align} F(w - w_0) = \mathcal{F} \left[f(t) e^{jw_0 t}\right] \end{align}
  • Propiedad de simetría: Si $F(w) = \mathcal{F} [f(t)]$
(25)
\begin{align} \mathcal{F} [F(t)] = \frac{1}{2 \pi} f(-w) \end{align}
  • Propiedad de diferenciación: Si $F(w) = \mathcal{F} [f(t)]$ y $f(t) \rightarrow 0$ cuando $t \rightarrow \pm \infty$
(26)
\begin{align} \mathcal{F} [f'(t)] = j w F(w) \end{align}
  • Propiedad de integración: Si $F(w) = \mathcal{F} [f(t)]$, $w \ne 0$ y $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\: dt = F(0) = 0$
(27)
\begin{align} \mathcal{F} \left[\int_{-\infty}^t f(x)\: dx\right] = \frac{1}{j w} F(w) \end{align}

Transformada de algunas funciones útiles

La idea es que en conjunto a las propiedades podamos calcular fácilmente la mayoria de las transformadas que se nos encuentren.

  • Transformada de una delta
(28)
\begin{eqnarray} \mathcal{F}[\delta(t)] &=& \frac{1}{2 \pi} \\ \mathcal{F}[\delta(t - t_0)] &=& \frac{e^{-jwt_0}}{2 \pi} \end{eqnarray}
  • Transformada de una constante
(29)
\begin{align} \mathcal{F}[a] = a \delta(t) \end{align}
  • Transformada del coseno
(30)
\begin{align} \mathcal{F}[\cos(w_0 t)] = \frac{1}{2} \left(\delta(w-w_0) + \delta(w+w_0) \right) \end{align}
  • Transformada del seno
(31)
\begin{align} \mathcal{F}[\sin(w_0 t)] = \frac{1}{2j} \left(\delta(w-w_0) - \delta(w+w_0) \right) \end{align}

Teorema de Parseval

El mismo habla del contenido de potencia de una función $f$:

(32)
\begin{align} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {|f(t)|}^2 dt = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n^2 + b_n^2 \right) = \sum_{-\infty}^{\infty} {|C_n|}^2 \end{align}

Delta de Dirac

La función impulso o delta de dirac se puede definir de varias maneras (depende de como convenga), pero se suele definir con la siguiente relación

(33)
\begin{eqnarray} \delta(t) &=& \left\{ \begin{array}{l l} \infty, \quad & t = 0\\[1pc] 0,\quad & t \neq 0 \end{array} \\ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t) dt &=& 1 \end{eqnarray}

Propiedades

En general la delta es más útil por las propiedades que cumple que por su definición, ya que no se debería remplazar $\delta(t)$ directanemente.

(34)
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)f(t) dt = f(a) \end{align}

Si $f$ es continua en $t_0$

(35)
\begin{align} f(t) \delta(t - t_0) = f(t_0) \delta(t - t_0) \end{align}
(36)
\begin{align} \delta(at) = \frac{1}{|a|} \delta(t) \end{align}
(37)
\begin{align} \delta(-t) = \delta(t) \end{align}

Transformada discreta de Fourier

Se utiliza cuando sólo se conocen algunos valores de la función a transformar. Los mismos son extraídos de a intervalos regulares. Estos valores de $x(t)$ se simbolizan con $x_j$, con $j = 0, 1, \cdots, N - 1$, y se define la transformada como:

(38)
\begin{align} X_k = \sum_{j = 0}^{N - 1} x_j e^{- \frac{2 \pi i}{N} jk \end{align}

con $k = 0, 1, \cdots, N - 1$. Cada valor está definido para la frecuencia $w_k = \frac{k}{2 \pi h N}$.

La antitransformada se define como:

(39)
\begin{align} x_j = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X_j e^{\frac{2 \pi i}{N} jk \end{align}

con $j = 0, 1, \cdots, N - 1$.

Problemas de valor en la frontera

Planteamos separación de variables como de costumbre

(40)
\begin{equation} u(x,t)=X(x)T(t) \end{equation}

Calculamos la derivada primera respecto al tiempo y la derivada segunda respecto a x para reemplazar en la primera ecuación

(41)
\begin{align} \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = X''(x)T(t) \end{align}
(42)
\begin{align} \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = X(x)T'(t) \end{align}

Reemplazando,

(43)
\begin{equation} X(x)T'(t) = 0.1 X''(x)T(t) \end{equation}

Separando variables queda

(44)
\begin{align} \frac{T'(t)}{T(t)} = 0.1 \frac{X''(x)}{X(x)} = -k^2 \end{align}

Entonces queda el sistema

(45)
\begin{eqnarray} T'(t)+T(t)k^2 = 0 \\ X''(x) + X(x)10k^2 = 0 \end{eqnarray}

Las soluciones generales son

(46)
\begin{align} X(x) = A \cos(\sqrt{10}kx)+B \sin(\sqrt{10}kx) \end{align}
(47)
\begin{equation} T(t) = Ce^{-k^2t} \end{equation}

Aplicando las condiciones de frontera, tenemos:

(48)
\begin{align} u(0,t) = X(0)T(t) = 0 \Rightarrow X(0) = A = 0 \Rightarrow X(x) = B \sin(\sqrt{10}kx) \end{align}
(49)
\begin{equation} u(1,t) = X(1)T(t) = -0.5X'(1)T(t) \end{equation}

Por comparación, de lo anterior se tiene que

(50)
\begin{equation} X(1) = -0.5 X'(1) \end{equation}

De la expresion de $X(x)$ computamos:

(51)
\begin{align} X'(x) = Bk\sqrt{10}\cos(\sqrt{10}kx) \Rightarrow X'(1) = Bk\sqrt{10}\cos(\sqrt{10}k) \end{align}

Reemplazando $X'(1)$ en la expresion de $X(1)$ se tiene

(52)
\begin{align} X(1) = B\sin(\sqrt{10}k) = -0.5 Bk \sqrt{10} \cos(\sqrt{10}k) \end{align}
(53)
\begin{align} -\frac{2}{\sqrt{10}}tan(\sqrt{10}k) = k \end{align}

Ejercicios

Pueden encontrarse aquí.

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