Filtros

Introducción

Un filtro es un sistema, el cual es excitado con una entrada $f(t)$ y produce una salida $g(t)$. Ejemplos clasicos de filtros son los circuitos electricos o sistemas mecánicos.
La idea de esta sección es proveer herramientas que permitan caracterizar el filtro. Es decir que dado un sistema conocido podamos predecir la salida para cualquier entrada.

Definición de filtro lineal e invariante en el tiempo

Se dice que un filtro es lineal si se puede aplicar el principio de superposición. Es decir, supongamos que tenemos las entradas $f_1(t)$ y $f_2(t)$ que al pasar por el filtro por separado se convierten en $g_1(t)$ y $g_2(t)$ respectivamente. El filtro es lineal si se cumple que $f = a_1 f_1(t) + a_2 f_2(t)$ se convierte en $g = a_1 g_1(t) + a_2 g_2(t)$ después de pasar por el filtro.

Sea $g(t)$ la salida producida por la excitación $f(t)$. Se dice que el filtro es invariante en el tiempo si se cumple que para la entrada $f(t - t_0)$ la salida es $g(t - t_0)$

Función operacional del sistema

Este es el primer intento para caracterizar el filtro. La idea es obtener el operador $S$ tal que aplicado a una entrada nos de la salida en forma de una ecuación diferencial que describe al sistema. Matematicamente esto es

(1)
\begin{align} S\left\{f(t)\right\} = g(t) \end{align}

Lo repito porque es importante: dada una entrada $f(t)$, le aplico la función operacional del sistema $S\{\}$ y obtengo la salida para esa entrada en forma de una ecuación diferencial.

Con esta definición se puede reescribir lo que significa que un sistema sea lineal e invariante en el tiempo. Un sistema lineal es aquel tal que cumple con la siguiente propiedad.

(2)
\begin{align} S\left\{a_1 f_1(t) + a_2 f_2(t) \right\} = a_1 S \left\{f_1\right\} + a_2 S \left\{f_2\right\} \end{align}

Un sistema invariante en el tiempo es aquel tal que

(3)
\begin{align} S\left\{f(t - t_0)\right\} = g(t - t_0) \end{align}

El problema de describir al filtro con la función operacional del sistema es que por cada entrada que tengamos vamos a tener que resolver una ecuación diferencial distinta. Por ejemplo si tengo un circuito electrónico definida con la función $S_{RC}$ y una entrada conformada por una corriente alterna (seno o coseno), para saber la salida tengo que resolver la ecuación diferencial generada por $S_{RC} \left\{f_{alt}\right\} = g_{alt}$. Ahora si al mismo filtro le cambio la entrada por un tren de pulsos mi ecuación diferencial cambia y se convierte en $S_{RC} \left\{f_{pulso}\right\} = g_{pulso}$.

Respuesta al impulso o función de Green

La siguiente idea es para describir unívocamente al filtro y poder calcular la salida para cualquier entrada sin tener que resolver ecuaciones diferenciales (a lo sumo una).

Dado un sistema lineal invariante en el tiempo, se define función de Green a la respuesta al impulso unitario y se denota $h(t)$. En otras palabras es la salida si la entrada es una Delta de Dirac centrada en el origen.

(4)
\begin{align} S\{\delta(t)\} = h(t) \end{align}

Esta función es muy especial porque cumple la siguiente propiedad (demostrada en el libro de Hsu y en la práctica de filtros).

(5)
\begin{equation} g(t) = f(t) * h(t) \end{equation}

O sea, si ya tengo $h(t)$ y quiero calcular la salida para una entrada cualquiera no tengo que resolver una ecuación diferencial sino que tengo que resolver una convolución. Si a esto le aplicamos la propiedad de la convolución para una transformada de Fourier, sólo tengo que resolver una multiplicación.

(6)
\begin{align} G(w) = 2 \pi F(w) H(w) \end{align}

donde la transformada de la función de Green $H(t)$ es llamada función del sistema.

Ejemplo

Suponiendo que tenemos un sistema caracterizado por la ecuación diferencial

(7)
\begin{equation} a g'(t) + g(t) = f(t) \end{equation}

siendo $g(t)$ la función de salida y $f(t)$ la función de entrada, y queremos obtener $H(w)$ o $h(t)$. Podemos aplicar la transformada de Fourier y obtener

(8)
\begin{eqnarray} \mathcal{F}\{f(t)\} &=& a \mathcal{F}\{g'(t)\} + \mathcal{F}\{g(t)\} \\ \mathcal{F}\{f(t)\} &=& a jw \mathcal{F}\{g(t)\} + \mathcal{F}\{g(t)\} \\ F(w) &=& (ajw + 1) G(w) \end{eqnarray}

pero si $f(t) = \delta(t)$ entonces $g(t) = h(t)$ y $G(w) = H(w)$, y además $\mathcal{F}\{\delta(t)\}= \frac{1}{2\pi}$ entonces

(9)
\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi} &=& (ajw + 1) H(w)\\ H(w) &=& \frac{1}{2\pi (ajw + 1)} \\ \end{eqnarray}

una vez obtenido $H(w)$ podemos ver la respuesta a una entrada cualquiera $f(t)$ simplemente calculando la transformada $F(t)$ y multiplicandolo por $2\pi H(w)$

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