Examen 6

Enunciado

FinalDiciembre2007.jpg

Solución

Problema 1

Por el Teorema fundamental del cálculo integral podremos decir que

(1)
\begin{align} \Phi'(x) = e^{-x^2} \cos(\frac{x}{2}) \end{align}

Entonces, sólo basta con resolver esta ODE de primer orden con un método que cumpla con que su error local de truncamiento sea proporcional a $h^2$, por ejemplo, el Método de Euler. La sucesión correspondiente es:

(2)
\begin{align} \Phi_{i+1} = \Phi_i + h e^{-\Phi_i^2} \cos(\frac{\Phi_i}{2}) \end{align}

Aplicando esta sucesión y considerando que $\Phi_0 = 0$, pues toda integral entre 0 y 0 da 0, y $h = 0.2$, se obtiene la siguiente tabla de resultados:

$x$ $\Phi(x)$
0.00 0.0000
0.20 0.2000
0.40 0.3912
0.60 0.5595
0.80 0.7001
1.00 0.8152

Problema 2

Parte 1

Como $f(t)$ es periódica (de período $2\pi$), tiene transformada finita $F(nw_0)$.

Como la entrada al filtro es periódica, la salida también lo es, entonces vale que $X(nw_0) = H(nw_0) F(nw_0)$.

Como queremos obtener la salida $x(t)$, nos interesa obtener $X(nw_0)$. Ya disponemos de $H(nw_0)$, por lo que resta conocer $F(nw_0)$. Para ello realizamos la transformada finita de $f(t)$, que es dato. Luego de algún manipuleo, se obtiene:

WARNING: Me parece que está mal calculada la transformada. HR

(3)
\begin{align} F(nw_0) = \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-jnw_0 t} dt = \frac{(\pi - 1) e^{\pi} + 1}{\pi (jnw_0)^2} \end{align}

Con el dato de $H(nw_0) = \frac{1}{(2 - j(nw_0)^3)}$, tenemos:

(4)
\begin{align} X(nw_0) = \frac{(\pi - 1) e^{\pi} + 1}{(2 - j(nw_0)^3) \pi (jnw_0)^2} \end{align}

Como la salida $x(t)$ es periódica (porque la entrada es periódica) entonces $x(t)$ se puede representar por una serie de Fourier, como sigue

(5)
\begin{align} x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} X(nw_0) e^{jnw_0t} \end{align}

Entonces podemos conocer su valor, pues ya tenemos calculados sus coeficientes $C_n = X(nw_0)$. Notar que como el período es $2\pi$, entonces $w_0 = 1$.

(6)
\begin{align} x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{(\pi - 1) e^{\pi} + 1}{(2 - jn^3) \pi (jn)^2} e^{jnt} \end{align}

Y $x(t)$ es la solución a la ecuación diferencial del filtro, lo que buscábamos.

Parte 2

Por Parseval, tenemos que la potencia de los 3 primeros armónicos es $|C_0|^2+|C_1|^2+|C_2|^2$.
Llamando $a = (\pi - 1) e^{\pi} + 1$ y remplazando $j^2 = -1$

(7)
\begin{align} C_n = - \frac{a}{\left(2 - j n^3\right) \pi n^2} = - \frac{a}{2\pi n^2 - j \pi n^5 } \frac{2\pi n^2 + j \pi n^5 }{2\pi n^2 + j \pi n^5 } \end{align}

Multiplicando

(8)
\begin{align} C_n = - \frac{a \left(2\pi n^2 + j \pi n^5\right)}{4\pi^2 n^4 + \pi^2 n^{10} } = -\frac{a 2\pi n^2}{4\pi^2 n^4 + \pi^2 n^{10}} - j \frac{a \pi n^5}{4\pi^2 n^4 + \pi^2 n^{10}} \end{align}

Entonces para los primeros tres armonicos

(9)
\begin{eqnarray} C_0 = -\frac{a 2\pi n^2}{4\pi^2 n^4 + \pi^2 n^{10}} - j \frac{a \pi n^5}{4\pi^2 n^4 + \pi^2 n^{10}} \end{eqnarray}

$C_0$ hay que calcularlo por separado.

Teoría 1

Por Máximo Cavazzani, cualquier duda, consultar.

Este problema, implementa un algoritmo Runge-Kutta de orden local 3, que puede ser entendido a partir de la fórmula de Simpson.
Para entender este problema, hay que pensarlo así. La integral es el área bajo la curva de la función. En cada iteración, calculamos el área del pedacito que avanzamos (de $t_n$ a $t_{n+1}$) y le sumamos, lo que ya teníamos calculado.
Veamos con un ejemplo:

(10)
\begin{array} {l} f(x) = x \\ \int f(x) dx = \frac{x^2}{2}\\ \end{array}

empezamos de $x_o = 0$

(11)
\begin{array} {l} x_o = 0 \\ x_1 = 0 + \int^1_0 f(x) dx = \frac{1}{2}\\ x_2 = \frac{1}{2} + \int^2_1 f(x) dx = 2 \\ ... \\ x_{n+1} = x_n + \int^{n+1}_n f(x) dx \\ \end{array}

En este caso, nuestro $h =1$.
Ahora, para corresponder con el ejercicio, para calcular $\int^{n+1}_n f(x) dx$ debemos usar la fórmula de Simpson:

(12)
\begin{align} \int f(x) dx \simeq \frac{h'}{3} (f_0 + 4f_1 + f_2) \end{align}

Pero OJO!, porque aca está la trampa. Uno debe usar la fórmula de Simpson, en cada sub-intervalo, osea en cada tramo de longitud $h$. Es decir, la $h$ de la formula de Simpson, no es la misma que la del algoritmo. De hecho como la $h$ de Simpson, se calcula como la longitud del intervalo ($h$) dividido 2. Es decir $h' = \frac{h}{2}$, siendo $h'$ la local para la fórmula de Simpson y $h$ la globaldel algoritmo.
Entonces…

(13)
\begin{array} {l} x_{n+1} = x_n + \int^{n+1}_n f(x) dx \\ x_{n+1} = x_n + \frac{\frac{h}{2}}{3} ( f( t_n) + 4f( \frac{t_n + t_{n+1}}{2}) + f(t_{n+1}) ) \\ x_{n+1} = x_n + \frac{1}{6} ( hf( t_n) + 4hf( \frac{t_n + t_{n+1}}{2}) + hf(t_{n+1}) ) \\ \end{array}

Pero como $f(t,x)$ depende de $t$ y de $x$, uso la $x$ calculada anteriormente para completar la función.

(14)
\begin{array} {l} x_{n+1} = x_n + \frac{1}{6} ( hf( t_n, x_n) + 4hf( \frac{t_n + t_{n+1}}{2}, x_{n+\frac{1}{2}}) + hf(t_{n+1}, x_{n+1}) ) \\ \end{array}

Siendo

(15)
\begin{array} {l} x_{n+1} = x_n + \frac{1}{6} ( k_1+ 4k_2+ k_3 ) \\ k_1 = h f(t_0 + nh, x_n) \\ k_2 = 4h f( t_0 + \frac{(n+1)h}{2}, x_n + \frac{k_1}{2} ) \\ k_3 = hf( t_0 + (n+1)h, x_n - k_1 + 2k_2 ) \\ \end{array}

Este es el algoritmo es el de Runge-Kutta de Orden 3, que tiene un error de orden global de 3 (por supuesto), o sea el error local es $0(h^4)$. La forma de interpretar gráficamente es dibujar la funcion, dividirla en segmento verticales a una distancia $h$ y hacer Simpson en cada división.

Teoría 2

Por Máximo Cavazzani, cualquier duda, consultar.

Parte a

"xi" representa la aproximación de $f(x)$ en la actual iteración para un algoritmo que utiliza el método de la "Secante", que es igual que el de Newton, pero aproxima la derivada (línea 3) en vez de calcularla.

Parte b

Debido a que el algoritmo implementa el Método de la Secante, $r = Phi = \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1.61803399...$.

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