Examen 3

Enunciado

Solución

Problema 1

Al ver el código podemos determinar que hay dos variables que se calculan utilizando el método Runge-Kutta ded orden 2, por lo que estimamos también que se está resolviendo una ecuación diferencial de segundo orden (cada una de estas variables se originaron por un proceso de renombramiento). El $k1$ (véase Runge-Kutta) que corresponde a la variable $\verb#v#$ es $\verb#m1#$, mientras que el de la variable $\verb#y#$ es $\verb#k1#$. Entonces, al ver que:

m1 = h (-10 sen y)
k1 = h v

se puede decir que por la forma de RK2, $\verb#(-10 sen y)#$ corresponde a la derivada de la variable a la que pertenece $\verb#m1#$, es decir $\verb#v#$, y que por lo mismo, $\verb#v#$ corresponde a la derivada de la variable $\verb#y#$. Por lo tanto:(1)

\begin{array} {l} v = y'\\ v' = -10 \sin(y) \end{array}

Entonces, reemplazando, podemos determinar que la ecuación diferencial que se resuelve es:

(2)

\begin{align} y'' + 10 \sin(y) = 0 \end{align}

Problema 2

Parte a

Dado que tenemos que calcular la transformada de una derivada, utilizamos la propiedad:

(3)

\begin{align} \mathcal{F}\left{f'(t)\right} = jw_onF(nw_o) \end{align}

Ahora aplicamos el algoritmo de la transformada discreta de Fourier, con $N = 8$, agregando el factor anterior y sabiendo que [[$w_k = \frac{k}{2\pi hN}:

(4)

\begin{align} X_k = i \sum_{j=0}^7 x_j e^{-\frac{2\pi i}{8} jk} \frac{k}{2\pi h 8} = \frac{ik}{16\pi h} \sum_{j=0}^7 x_j e^{-\frac{\pi i}{4} jk} \end{align}

Basta ahora con fijar $h = 0.5$ y calcular los valores.

Parte b

Se cuenta con dos demostraciones posibles:

Demostración 1

Como la funcion $f(t)$$ es periódica, se la puede representar con una serie de Fourier como sigue:

(5)

\begin{align} f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} = \sum_{-\infty}^{+\infty} \mathring{\mathcal{F}}\{t\} e^{jn\omega_0 t} \end{align}

Considerando lo anterior, tenemos que

(6)

\begin{align} f(t-a) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 (t-a)} = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} e^{-jn\omega_0 a} \end{align}

Sea

(7)

\begin{align} d_n = c_n e^{-jn\omega_0 a} \end{align}

Entonces resulta

(8)

\begin{align} f(t-a) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} d_n e^{jn\omega_0 t} \end{align}

Pero como

(9)

\begin{align} c_n = |c_n| e^{j\phi_n} \end{align}

reemplazando en la expresion para $d_n$ tenemos que

(10)

\begin{align} d_n = |c_n| e^{j\phi_n} e^{-jn\omega_0 a} \end{align}

Por lo tanto

(11)

\begin{equation} |d_n| = |c_n| \end{equation}

y

(12)

\begin{equation} |d_n|^2 = |c_n|^2 \end{equation}

Finalmente se aplica Parseval y es inmediato que la potencia es la misma para $f(t)$ y $f(t-a)$

Demostración 2

Aplicando la definición de contenido de potencia a $f(t-a)$ obtenemos:

(13)

\begin{align} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {|f(t-a)|}^2 dt \end{align}

Haciendo un cambio de variable, $u = t - a$ podemos decir:

(14)

\begin{align} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}-a}^{\frac{T}{2}-a} {|f(u)|}^2 du \end{align}

Dado que la función es periódica, el término $-a$ no afecta al resultado, por lo que se puede decir que el contenido de potencia desplazado en el tiempo es el mismo.

Problema 3

por Maximo Cavazzani (cualquier duda, preguntar)

Todo empieza por suponer que $u(x,t) = f(x).h(t)$
Entonces…

(15)

\begin{array} {l} f(x).h'(t) = 0.1 f''(x).h(t) \\ f(0).h(t) = 0 \\ f(1).h(t) + 0.5 f'(1).h(t) = 0 \\ f(x).h(0) = f(x) \end{array}

De la cuarta eq. podemos decir que $u(x,t)$ evaluada en CERO solamente depende de $x$.

De la primera eq.:

(16)

\begin{array} {l} f(x).h'(t)=0.1 f''(x).h(t) \\ f(x).h'(0)=0.1 f''(x).h(0) \\ f(x) =0.1 f''(x) \frac{h(0)}{h'(0)} \\ \end{array}

Pero $\frac{h(0)}{h'(0)}$ es un constante C (porque solo debe depender de x). Por lo tanto:

(17)

\begin{align} f(x)=0.1 C f''(x)\\ \end{align}

Ahora, por supuesto, se propone una solución del tipo

(18)

\begin{array} {l} f(x) = Sin(\omega t) \\ f'(x) = \omega Cos (\omega t) \\ f''(x) = -\omega^2 Sin(\omega t) \end{array}

De la tercera eq.:

(19)

\begin{array} {l} f(1) = -0.5 f'(1) \\ Sin(\omega) = -0.5\omega Cos (\omega) \\ -2 \frac{Sin(\omega)}{Cos(\omega)} = \omega \\ -2 Tan(\omega) = \omega \\ \end{array}

Ya tenemos los $\infty$ valores de $\omega$ que debemos calcular (los primeros dos, para este ejercicio) mediante alguna tecnica iterativa de la forma $x = f(x)$, como "punto fijo" o "Newton". A estos valores los llamamos $\omega_n$.

Por otro lado de la primera eq. tenemos:

(20)

\begin{array} {l} f(x).h'(t) = 0.1 f''(x).h(t) \\ Sin(\omega t).h'(t) = -0.1 \omega_o^2 Sin(\omega t).h(t) \\ h'(t) = -0.1 \omega^2 h(t) \\ \end{array}

Se propone, para esta eq. diferencial $h(t) = e^{\lambda t}$, por lo tanto $h'(t) = \lambda e^{\lambda t}$ (tener en cuenta que $h'(0)$ tiene que ser distinto de 0)

(21)

\begin{array} {l} \lambda e^{\lambda t} = -0.1 \omega^2 e^{\lambda t} \\ \lambda = -0.1 \omega^2 \\ \end{array}

Como hay $\infty$ valores de $\omega$, hay $\infty$ valores de $\lambda$ que llamaremos $\lambda_n$

Recordemos que la solucion es la suma de todas las soluciones.
Entonces, la solucion de la equacion es:

(22)

\begin{align} u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_n e^{\lambda_n t} Sin(\omega_n x) \end{align}

Calculamos $\omega_1 = 0$, $\omega_2 = 2.2889297281$ con 10 cifras decimales significativas.
Calculamos $\lambda_1 = -0.1 \omega_1^2 = 0$, $\lambda_2 = -0.1 \omega_2^2 = -0.5239199300$ con 10 cifras decimales significativas.

Entonces, la ecuacion aproximada a los dos primeros terminos de la serie es:

(23)

\begin{array} {l} u(x,t) = \sum_{n=1}^2 \lambda_n e^{\lambda_n t} Sin(\omega_n x) \\ u(x,t) = -0.523919930018 e^{-0.523919930018 t} Sin(2.288929728 x) \end{array}