Examen 2

Enunciado

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Solución

Problema 1

Lo que propone el ejercicio es utilizar un método de resolución con un orden de error local de 3, dado que utilizaría una expansión de Taylor que llega hasta $h^2$. Particularmente, esto consistiría en un Método de Taylor. El orden de error global es uno menor, es decir, 2.

Aplicando el método queda la siguiente expresión:

(1)
\begin{align} y_{i+1} = y_i + h y_i' + \frac{h^2}{2} y_i'' \end{align}

Ya desde el enunciado tenemos el valor de $y_i'$, que es $- 2 \sin(y_i) + e^{-ih}$ colocando $t = ih$, por lo que ahora debemos obtener el valor de $y_i''$. Para ello hay que hacer la segunda derivada total de $y(t)$. Entonces hay que derivar $y'(t)$ con respecto a $t$ y $y(t)$, pues son sus dos argumentos. Esta resulta en:

(2)
\begin{align} y_i'' = - e^{-t} - 2 \cos(y_i(t)) y_i'(t) \end{align}

Reemplazando con la expresión de $y_i'$, se obtiene:

(3)
\begin{align} y_i'' = 4 \sin(y_i) \cos(y_i) - e^{-ih} - 2 \cos(y_i) e^{-ih} \end{align}

Finalmente, la sucesión queda:

(4)
\begin{align} y_{i+1} = y_i + h (- 2 \sin(y_i) + e^{-ih}) + \frac{h^2}{2} (4 \sin(y_i) \cos(y_i) - e^{-ih} - 2 \cos(y_i) e^{-ih}) \end{align}

Con $h = 0.05$ se obtienen estos resultados:

$i$ $y_i$
0 2
1 1.9559
2 1.9077
3 1.8555
4 1.7996

Problema 2

Parte a

$F_k$ es la transformada finita de Fourier de $f(t)$ y $u_j$ corresponde a la expresión de la antitransformada discreta de Fourier para $iw F(w)$. A simple vista entonces puede verse que $u(t) = f'(t)$, pues se aplica la propiedad $\mathcal{F}\{f'(t)\} = iw F(w)$.

La demostración de esa propiedad es la siguiente. Partimos de aplicar la definición de la transformada de Fourier:

(5)
\begin{align} \mathcal{F}\{f'(t)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f'(t) e^{-jwt} dt \end{align}

Aplicando integración por partes obtenemos:

(6)
\begin{align} \mathcal{F}\{f'(t)\} = \frac{1}{2\pi} \left[f(t) e^{-jwt} \Big |_{-\infty}^{\infty} + jw \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jwt} \right] \end{align}

Suponiendo que $f(t) \rightarrow 0$ cuando $t \rightarrow \infty$, podemos decir:

(7)
\begin{align} \mathcal{F}\{f'(t)\} = jw \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jwt} \end{align}

La expresión anterior justamente cumple con la definición de la transformada de Fourier aplicada a $f(t)$, por lo cual queda demostrado:

(8)
\begin{align} \mathcal{F}\{f'(t)\} = jw F(w) \end{align}

Parte b

Transformanado ambos miembros de la ecuación obtenemos

(9)
\begin{align} \mathcal{F}[\tau x'(t)+x(t)] = \mathcal{F}[f(t)] \end{align}

Aplicando la propiedad de linealidad llegamos a

(10)
\begin{align} \tau \mathcal{F}[x'(t)] + \mathcal{F}[x(t)] = \mathcal{F}[f(t)] \end{align}

Con la propiedad de derivación se obtiene

(11)
\begin{align} \tau j w \mathcal{F}[x(t)] + \mathcal{F}[x(t)] = \mathcal{F}[f(t)] \end{align}

que puede ser reescrito como

(12)
\begin{align} \tau j w X(w) + X(w) = F(w) \end{align}

El dato que nos dan en el problema nos motiva a tener alguna función

(13)
\begin{align} D(w) = \frac{1}{ \alpha + jw } \end{align}

que pueda ser antitransformada en

(14)
\begin{align} e^{ \alpha t } u(t) \end{align}

Entonces sacando factor común y dividiendo por $\tau$ se obtiene

(15)
\begin{align} X(w) (jw + \frac{1}{\tau}) = \frac{1}{\tau} F(w) \end{align}

Despejando $X(w)$ tenemos

(16)
\begin{align} \tau X(w) = \frac{1}{jw + \frac{1}{\tau}} F(w) \end{align}

Renombrando $D(w) = \frac{1}{jw + \frac{1}{\tau}}$, podemos decir que tenemos dos funciones ($D(w)$ y $F(w)$) multiplicadas en el dominio de la frecuencia. Esto corresponde a la transformada de la convolución de dos funciones en el dominio del tiempo, dividido $2\pi$. Cabe aclarar que la propiedad dada en el examen esta incompleta. La correcta es

(17)
\begin{align} F \left[ f(t) \ast g(t) \right] = 2 \pi F(w)G(w) \end{align}

Entonces:

(18)
\begin{align} \tau X(w) = D(w) F(w) = \frac{1}{2\pi} \mathcal{F}[d(t) * f(t)] \end{align}

Utilizando la ayuda que facilita el enunciado, podemos decir que

(19)
\begin{align} d(t) = e^{-\frac{1}{\tau}t} u(t) \end{align}

Entonces, aplicando la antitransformada y reescribiendo con lo que tenemos:

(20)
\begin{align} x(t) = \frac{1}{2\pi \tau} \left(e^{-\frac{1}{\tau}t} u(t) * f(t)\right) \end{align}

Aplicando la definición de convolución, y sabiendo que $u(t) = 0$ para $t < 0$ y $u(t) = 1$ para $t > 0$:

(21)
\begin{align} x(t) = \frac{1}{2\pi\tau} \int_0^{\infty} e^{-\frac{1}{\tau}y} f(t - y) dy \end{align}

Problema 3

Se tienen las siguientes ecuaciones:

(22)
\begin{equation} u_t = 0.2 u_{xx} \end{equation}
(23)
\begin{equation} u(0, t) = 0 \end{equation}
(24)
\begin{equation} 2 u(1, t) + u_x(1, t) = 0 \end{equation}
(25)
\begin{equation} u(x, 0) = f(x) \end{equation}

Se comienza planteando separación de variables:

(26)
\begin{equation} u(x, t) = X(x) T(t) \end{equation}

Con ello tenemos:

(27)
\begin{equation} u_t = X(x) T'(t) \end{equation}
(28)
\begin{equation} u_x = T(t) X'(x) \end{equation}
(29)
\begin{equation} u_{xx} = T(t) X''(x) \end{equation}

Si reemplazamos las anteriores en la ecuación (22) obtenemos:

(30)
\begin{equation} X(x) T'(t) = 0.2 T(t) X''(x) \end{equation}

De allí, haciendo pasaje de términos y agrupando variables tenemos la siguiente expresión, que puede ser igualada a una constante $k$ pues esta relación no dependerá ni de $x$ ni de $t$:

(31)
\begin{align} \frac{X(x)}{X''(x)} = 0.2 \frac{T(t)}{T'(t)} = -k^2 \end{align}

De allí, tomando cada lado de la igualdad se pueden plantear las siguientes ecuaciones diferenciales:

(32)
\begin{equation} X(x) + k^2 X''(x) = 0 \end{equation}
(33)
\begin{equation} 0.2 T(t) + k^2 T'(t) = 0 \end{equation}

Pasándolas a una forma tal que se puedan aplicar fácilmente soluciones generales para ecuaciones diferenciales, quedan así:

(34)
\begin{align} X''(x) + \frac{1}{k^2} X(x) = 0 \end{align}
(35)
\begin{align} T'(t) + \frac{0.2}{k^2} T(t) = 0 \end{align}

Entonces ahora se puede proponer sus soluciones generales correspondientes:

(36)
\begin{align} X(x) = A \cos(\frac{1}{k} x) + B \sin(\frac{1}{k} x) \end{align}
(37)
\begin{align} T(t) = C e^{-\frac{0.2}{k^2} t} \end{align}

Evaluando $u(x, t)$ sobre la condición de frontera de la ecuación (23), se obtiene:

(38)
\begin{equation} u(0, t) = 0 = X(0) T(t) \end{equation}

Esto nos indica que para que $T(t)$ no sea trivial, $X(0) = 0$. Entonces utilizando la expresión propuesta para $X(x)$ surge que $A = 0$, por lo que:

(39)
\begin{align} X(x) = B \sin(\frac{1}{k} x) \end{align}

Evaluando lo obtenido hasta ahora en la ecuación (24) se obtiene:

(40)
\begin{align} 2 u(1, t) + u_x(1, t) = 2 X(1) T(t) + T(t) X'(1) = 2 B \sin(\frac{1}{k}) C e^{-\frac{0.2}{k^2} t} + C e^{-\frac{0.2}{k^2} t} \frac{B}{k} \cos(\frac{1}{k}) = 0 \end{align}

Desde allí con algún manipuleo se llega a que:

(41)
\begin{align} \tan(\frac{1}{k}) = - \frac{1}{2k} \end{align}

Hay infinitos $k$ que cumplen la expresión anterior, pues $\tan$ es una función periódica, entonces:

(42)
\begin{align} \tan(\frac{1}{k_n} + n \pi) = - \frac{1}{2k_n} \end{align}

Cada una de las $k_n$ pueden obtenerse por medio de un método de resolución de ecuaciones no lineales. Ahora se puede reescribir $u(x, t)$ para cada valor de $n$, uniendo $B$ y $C$ bajo el mismo nombre:

(43)
\begin{align} u_n(x, t) = D_n \sin(\frac{1}{k_n} x) e^{-\frac{0.2}{k_n^2} t} \end{align}

Como la ecuación (22) es lineal, puede decirse que:

(44)
\begin{align} u(x, t) = \sum_{n = 0}^{\infty} u_n(x, t) = \sum_{n = 0}^{\infty} D_n \sin(\frac{1}{k_n} x) e^{-\frac{0.2}{k_n^2} t} \end{align}

Utilizando la ecuación (25) podemos decir:

(45)
\begin{align} u(x, 0) = f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} D_n \sin(\frac{1}{k_n} x) \end{align}

Entonces $f(x)$ puede escribirse como una serie trigonométrica de Fourier, donde $n w_0 = \frac{1}{k_n}$. El coeficiente $D_n$ se obtiene al igual que $b_n$, siendo el período $T = 1$ (cota de $x$).

(46)
\begin{align} D_n = 2 \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(x) \sin(\frac{1}{k_n} x) dx \end{align}

Reemplazando la expresión de $D_n$ en $u(x, t)$ obtenemos la expresión final:

(47)
\begin{align} u(x, t) = \sum_{n = 0}^{\infty} 2 \left[ \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(y) \sin(\frac{1}{k_n} y) dy \right] \sin(\frac{1}{k_n} x) e^{-\frac{0.2}{k_n^2} t} \end{align}

Luego se debe calcular la cantidad de $k_n$ que se deseen ($k_0$, $k_1$ y $k_2$ para los primeros 3 términos) y reemplazar.

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