Ejercicios de Fourier

Cálculo de coeficientes

Ejercicio 1

Este es el ejemplo 1.12 del libro de Hsu pero resuelto de otra manera.

Pide encontrar la serie de Fourier para la función periódica $f(t)$ definida por

(1)
\begin{align} f(t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0,& -\frac{T}{2} < t < 0\\[1pc] A \sin (\omega_0 t), \quad & 0 < t < \frac{T}{2} \end{array} \end{align}

y $f(t + T) = f(t)\:,\;\; \omega_0 = 2\pi / T$

Obviamente el ejercicio se reduce a encontrar los coeficientes $a_0, \; a_n, \; b_n$.

De la ecuación escribimos

(2)
\begin{align} a_n = \frac{2}{T}\left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} 0\: dt + \int_{0}^{\frac{T}{2}} A \sin(\omega_0 t) \cos(n \omega_0 t)\: dt\right) \end{align}

Remplazando el seno y el coseno por sus expresiones exponenciales podemos escribir

(3)
\begin{eqnarray} \sin(\omega_0 t) \cos(n \omega_0 t) &=& \frac{\left(e^{j \omega_0 t} - e^{-j \omega_0 t}\right) \left(e^{j n \omega_0 t} + e^{-j n\omega_0 t}\right)}{4j} \\ &=& \frac{e^{j \omega_0 t (1+n)} + e^{j \omega_0 t (1-n)}-e^{-j \omega_0 t (1-n)}- e^{-j \omega_0 t (1+n)}}{4j} \end{eqnarray}

Reemplazando en 2 lo obtenido en 3 e integrando obtenemos

(4)
\begin{align} a_n = \frac{2A}{4jT} \left|_0^{\frac{T}{2}} \frac{e^{j \omega_0 t (1+n)}} {j \omega_0 (1+n)}+ \frac{e^{j \omega_0 t (1-n)}} {j \omega_0 (1-n)}+ \frac{e^{-j \omega_0 t (1-n)}} {j \omega_0 (1-n)}+ \frac{e^{-j \omega_0 t (1+n)}} {j \omega_0 (1+n)} \end{align}

Remplazando por $0$ el exponencial se vuelve 1, y remplazando por $\frac{T}{2}$ tenemos

(5)
\begin{align} e^{\pm j \omega_0 \frac{T}{2} X} =e^{\pm j \frac{2 \pi}{T} \frac{T}{2} X} = e^{\pm j \pi X} = (-1)^X \end{align}

entonces 4 se convierte en

(6)
\begin{align} a_n = -\frac{2A}{4T \omega_0} \left( \frac{(-1)^{1+n}} {1+n}+ \frac{(-1)^{1-n}} {1-n}+ \frac{(-1)^{1-n}} {1-n}+ \frac{(-1)^{1+n}} {1+n} - \frac{1} {1+n} - \frac{1} {1-n} - \frac{1} {1-n} - \frac{1} {1+n} \right) \end{align}

Despejando un poco

(7)
\begin{align} a_n = -\frac{A}{2 \pi} \left( \frac{(-1)^{1+n}} {1+n}+ \frac{(-1)^{1-n}}{1-n} - \frac{1} {1+n} - \frac{1} {1-n} \right) \end{align}

Que podemos separar en dos casos:

  • Si $n$ es impar $a_n = 0$
  • Si $n$ es par
(8)
\begin{align} a_n = -\frac{A}{2 \pi} \left( -\frac{2} {1+n} - \frac{2} {1-n} \right) \end{align}

Resta calcular $b_n$.

Práctica de la cátedra

Se cuenta con una completa solución a la práctica propuesta por la cátedra.

Bugs encontrados en la solución de la práctica 7

Ejercicio 3.

(9)
\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} \end{align}

Bugs encontrados en la práctica 7

Ejercicio 7.

(b) la exponencial no debería estar elevada a algo negativo, sino positivo

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