Diferenciación

Introducción

Se cuenta con un conjunto de $n$ datos de una función y se desea obtener una aproximación a los valores de la derivada de esa función. Los datos son equiespaciados (espacio $h$) y la función pertenece a $\mathcal{C}^{n+1}[a, b]$.

Métodos de primer orden

Hacia adelante

Se utiliza $\text{Taylor}(f(x + h)) - \text{Taylor}(f(x - h))$. Recordar que lo del orden era el exponente al que está elevado $h$ en el término de error. Con error y todo, esto es:

(1)
\begin{align} f'(x_0) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} - \frac{h}{2}f''(\xi) \text{, con }\xi \in (x_0,x_0+h) \end{align}

con $\xi \in (x_0,x_0+h)$.

La idea es que $h$ sea convenientemente chiquito.

Hacia atrás

(2)
\begin{align} f'(x_0) = \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h} - \frac{h}{2}f''(\xi) \end{align}

con $\xi \in (x_0,x_0+h)$.

Métodos de segundo orden

Centrado

(3)
\begin{align} f'(x_0) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}-\frac{h^2}{6}f'''(\theta) \end{align}

con $x_0-h < \theta < x_0+h$.

Para extremos

Para el otro extremo cambiar $h$ por $-h$.

(4)
\begin{align} f'(x_0) = \frac{1}{2h}[-3f(x_0)+4f(x_0+h)-f(x_0+2h)] + \frac{h^2}{3}f'''(\xi) \end{align}

Derivadas parciales

Para computar $\partial^2f/\partial x^2$ usar un esquema centrado de orden 2:

(5)
\begin{align} f''(x_0)=\frac{f(x_0 -h) -2f(x_0) + f(x_0 +h)}{h^2} - \frac{h^2}{6}f'''(\theta) \end{align}

Error de cómputo en función de h

$M$ depende de la máquina:

(6)
\begin{align} \epsilon \leq \frac{2M}{h} + \frac{1}{2}f''(\xi)h \end{align}
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