Conceptos generales

Polinomio de Taylor

(1)
\begin{align} f(x + h) = f(x) + \frac{h f'(x)}{1!} + \frac{h^2 f''(x)}{2!} + \cdots + \frac{h^n f^{(n)}(h)}{n!} + \frac{h^{n+1} f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \end{align}

con $\xi$ perteneciente al intervalo $[x, x + h]$.

Para el caso de utilizar $- h$, los signos se alternan, es decir:

(2)
\begin{align} f(x - h) = f(x) - \frac{h f'(x)}{1!} + \frac{h^2 f''(x)}{2!} - \cdots + \frac{h^n f^{(n)}(h)}{n!} - \frac{h^{n+1} f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \end{align}

con $\xi$ perteneciente al intervalo $[x - h, x]$.

Derivada total

Dada una función $f \in \Re^N \rightarrow \Re$ la derivada total con respecto a uno de sus campos difiere con la derivada parcial en que se considera como afectan los otros campos:

(3)
\begin{align} \frac{d F}{d x_1} = \frac{\partial F}{\partial x_1} + \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial F}{\partial x_i} \frac{d x_i}{d x_1} \end{align}

Derivada total en función del tiempo

En especial nos interesa qué sucede cuando la función es del tipo $f(t,x)$ y la derivada es en función del tiempo

(4)
\begin{align} \frac{d F}{d t} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} \frac{d x}{d t} \end{align}

Ejemplo

Si tenemos una función ya derivada, como:

(5)
\begin{align} x'(t, x(t)) = \frac{t - x(t)}{2} \end{align}

y queremos obtener la derivada segunda completa viendo cómo responde en $t$, hacemos variar tanto $t$ como $x(t)$, sus dos parámetros, obteniendo:

(6)
\begin{align} x''(t, x(t)) = \frac{1}{2} + x'(t, x(t)) (-\frac{1}{2}) \end{align}

que reemplazando con el $x'(t, x(t))$ original y simplificando, resulta:

(7)
\begin{align} x''(t, x(t)) = \frac{1}{4} (2 - t + x(t)) \end{align}

Teorema fundamental del cálculo integral

Dada una función $f$ integrable sobre el intervalo $[a,b]$, definimos $F$ sobre $[a,b]$ por $F(x) = {\int_{\alpha}^x f(t)dt}$ con $\alpha \in [a,b]$ fijo. El teorema dice que si $f$ es continua en $c \in [a,b]$, entonces $F$ es derivable en $c$ y $F'(c) = f(c)$.

Ejemplo

Si tenemos la función

(8)
\begin{align} \Phi(x) = \int_0^x e^{-z^2} \cos(\frac{z}{2}) dz \end{align}

podremos decir que

(9)
\begin{align} \Phi'(x) = e^{-x^2} \cos(\frac{x}{2}) \end{align}

Propiedades ortogonales del seno y el coseno

Sirven mucho para demostraciones de Fourier y cálculo de coeficientes (siempre que $m,n \in \mathbb{Z}$).

(10)
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos ( m \omega_0 t) dt = 0 \quad \forall \;\; m \ne 0 \end{align}
(11)
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin ( m \omega_0 t) dt = 0 \quad \forall \;\; m \end{align}
(12)
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos ( m \omega_0 t) \cos ( n \omega_0 t)dt = \left\{ \begin{array}{ll} 0,& m \ne n\\ \frac{T}{2},\quad& m=n\ne0 \end{array} \end{align}
(13)
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin ( m \omega_0 t) \sin ( n \omega_0 t)dt = \left\{ \begin{array}{ll} 0,& m \ne n\\ \frac{T}{2},\quad& m=n\ne0 \end{array} \end{align}
(14)
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin ( m \omega_0 t) \cos ( n \omega_0 t)dt = 0 \quad \forall \;\; n,m \end{align}

Propiedades trigonometricas de los exponenciales

Dependiendo la situación puede convenir trabajar con exponenciales o con senos y cosenos.La única expresión que hay que acordarse es:

(15)
\begin{align} e^{\pm j\theta} = cos(\theta) \pm j sen(\theta) \end{align}

Para acordarse de esto es útil pensar como se expresan los complejos en el plano cartesiano (los reales en eje $x$ y los imaginarios en el eje $y$).

De 15 podemos deducir como expresar el seno y el coseno como suma y resta de exponenciales.
Para calcular el coseno partimos de sumar dos veces la ecuacion con el signo de $j$ cambiado

(16)
\begin{eqnarray} e^{j\theta} + e^{-j\theta} &=& \cos(\theta) + j \sin(\theta) + \cos(\theta) - j \sin(\theta) \\ e^{j\theta} + e^{-j\theta} &=& 2 \cos(\theta) \\ \cos(\theta) &=& \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2} \end{eqnarray}

Para calcular el seno hacemos lo mismo pero en vez de sumar restamos

(17)
\begin{eqnarray} e^{j\theta} - e^{-j\theta} &=& \cos(\theta) + j \sin(\theta) - \left(\cos(\theta) - j \sin(\theta)\right) \\ e^{j\theta} - e^{-j\theta} &=& 2 j \sin(\theta) \\ \sin(\theta) &=& \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j} \end{eqnarray}

Ejemplo

Hay algunas constantes útiles que salen de la ecuación 15

(18)
\begin{eqnarray} e^{\pm j \pi} &=& \cos(\pi) \pm j sen (\pi) \\ e^{\pm j \pi} &=& -1 \pm j 0 \\ e^{\pm j \pi} &=& -1 \end{eqnarray}
(19)
\begin{eqnarray} e^{\pm j 2\pi n} &=& \cos(2\pi n) \pm j sen (2\pi n) \\ e^{\pm j 2\pi n} &=& 1 \pm j 0 \\ e^{\pm j 2\pi n} &=& 1 \end{eqnarray}
(20)
\begin{eqnarray} e^{\pm j \frac{\pi}{2}} &=& \cos(\frac{\pi}{2}) \pm j sen (\frac{\pi}{2}) \\ e^{\pm j \frac{\pi}{2}} &=& 0 \pm j 1 \\ e^{\pm j \frac{\pi}{2}} &=& \pm j \end{eqnarray}

Funciones pares e impares

Una función es par si

(21)
\begin{equation} f(-t) = f(t) \end{equation}

y es impar si

(22)
\begin{equation} -f(-t) = f(t) \end{equation}

Ejemplos de funciones

  • Pares: $\cos(x)$, $x^2$, $|x|$, etc.
  • Impares: $\sen(x)$, $\frac{1}{x}$, $x^3$, etc.

Propiedades de las funciones

CUALQUIER FUNCIÓN puede ser expresada como la suma de una función par y otra impar.
La forma de calcular estas "componentes" sale de la demostración. Básicamente hay que calcular $f(-t)$ y hacer

(23)
\begin{align} f_{par}(t) = \frac{f(t) + f(-t)}{2} \end{align}
(24)
\begin{align} f_{impar}(t) = \frac{f(t) - f(-t)}{2} \end{align}

Esto se puede usar para calcular más fácilmente algunas series de Fourier.

Propiedades de la multiplicación

  • La multiplicación de una función par con otra función par resulta en otra función par.
  • La multiplicación de una función impar con otra función impar resulta en una función par.
  • La multiplicación de una función par con una función impar resulta en una función impar.

Propiedades de la integración

Si $f(x)$ es una función par se cumple:

(25)
\begin{align} \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx \end{align}

Si $f(x)$ es una función impar se cumple:

(26)
\begin{align} \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \end{align}

Soluciones generales a ecuaciones diferenciales

Caso 1

Se tiene una ecuación diferencial de la forma:

(27)
\begin{equation} x''(t) + c x(t) = 0 \end{equation}

Se puede proponer la siguiente solución:

(28)
\begin{align} x(t) = A \cos(\sqrt{c} t) + B \sin(\sqrt{c} t) \end{align}

Caso 2

Se tiene una ecuación diferencial de la forma:

(29)
\begin{equation} x'(t) + c x(t) = 0 \end{equation}

Se puede proponer la siguiente solución:

(30)
\begin{equation} x(t) = A e^{- c t} \end{equation}

Determinante de una matriz

(31)
\begin{align} \text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} \end{align}

con $M_{ij}$ el determinante de la submatriz de $A$ que se obtiene eliminando la fila $i$-ésima y la columna $j$-ésima de la matriz $A$.

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